Означення 1. Запровадимо такі поняття.

1. Максимальний (мінімальний) елемент частково впорядкованої множини — елемент, більше (відповідно, менше) якого немає.

2. Найбільший (найменший) елемент частково впорядкованої множини — це такий елемент, що більший (менший) за решту елементів.

3. Цілком впорядкована множина — лінійно впорядкована множина, в якій для кожної непорожньої підмножини існує найменший елемент відповідно до заданого порядку.

Зауваження 1.

1. Існують частково впорядковані множини, в яких немає максимального чи мінімального елементів.

2. Існують частково впорядковані множини, в яких немає найбільшого чи найменшого елементів.

3. Максимальний елемент може бути не порівнюваним з деякими елементами частково впорядкованої множини і тому може не бути найбільшим.

Теорема 1. Наступні чотири висловлювання еквівалентні між собою.

1. Теорема Цермело про цілковите впорядкування: будь-яку множину можна цілком впорядкувати.

2. Принцип максимальності Хаусдорфа: Довільна лінійно впорядкована підмножина частково впорядкованої множини M міститься у деякій максимальній за включенням лінійно впорядкованій підмножині множини M.

3. Лемма Цорна: якщо довільна лінійно впорядкована підмножина частково впорядкованої множини M обмежена зверху (хоча б одним) елементом множини M, то існує (щонайменше один) максимальний елемент M.

4. Аксіома вибору: для довільного множини M існує функция f, при якій:

   • область визначення — множина усіх непорожніх підмножин множини M — 2^M \ ∅

   • для довільної непорожньої підмножини A множини M маємо: f (A) ∈ A.

Доведення. Викладемо міркування таким чином: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).

(1) ⇒ (2)
Для виведення теореми Хаусдорфа з теореми Цермело здійснимо таке. Впорядкуємо цілком множину M (згідно з теоремою Цермело це можна зробити). Для довільної лінійно впорядкованої підмножини A частково впорядкованої множини M розглянемо множину B, що містить усі елементи A і ті елементи b ∈ M \ A, які порівнювані щодо визначеного спочатку на M часткового порядку як з усіма елементами множини А, так і зо всіма елементами множини B, які менші ніж b щодо повного порядку, запровадженого на M. Згідно з таким вибором В — лінійно впорядкована і максимальна за включенням подмножина множини M, що містить А як підмножину.

(2) ⇒ (3)
Лему Цорна з теореми Хаусдорфа виведемо таким чином. Розглянемо довільну одноелементну підмножину частково впорядкованої множини M. Згідно з принципом максимальності Хаусдорфа існує максимальна за включенням лінійно впорядкована підмножина B частково впорядкованої множини M. Згідно з умовою леми Цорна існує верхня ґрань множини B, яку позначимо y. Припустимо, що y не є максимальним елементом множини M. Тоді існує елемент z ∈ M, при якому y < z. Долучивши z до множини B, отримуємо лінійно впорядковану множину. Отримана суперечність з максимальністю множини B свідчить про хибність припущення. Інакше кажучи, y — максимальний елемент множини M.

(3) ⇒ (4)
Аксіому вибору з леми Цорна отримаємо таким чином. Розглянемо множину F усіх таких функцій f, при яких:

• область визначення — 2^M \ ∅ — множина усіх непорожніх підмножин множини M;

• f (A) ∈ A для всіх непорожніх підмножини A множини M, при яких визначено f (A).

Перетворимо F на частково впорядковану множину таким чином: будемо вважати, що f ≤ g тоді й лише тоді, коли f (A) = g (A) на всій області визначення f, що є підмножиною області визначення g. Довільний лінійно впорядкований набір функцій обмежений зверху функцією, область визначення якої збігається з об'єднанням областей визначення усіх функцій. Згідно з лемою Цорна у множині F є щонайменше один максимальний елемент f. Припустимо, функцію f не означено на деякій непорожній підмножині A множини M, то можна, довільним чином вибравши елемент a з A, побудувати функцію g, долучивши A до області визначення функції f і поклавши:

• g (A) = a;
• g (B) = f (B) при довільному B з області визначення f.

Отримана суперечність нерівності f < g з максимальністю елемента f множини F свідчить про хибність припущення. Інакше кажучи, f — шукана функція, що виділяє в кожній непорожній підмножині множини M по одному елементу.

(4) ⇒ (1)
Теорему Цермело про можливість цілковитого впорядкування довільної множини M виводимо з аксіоми вибору таким чином. Згідно з аксіомою вибору існує функція

при якій для довільної непорожньої підмножини A множини M маємо: f (A) ∈ A. Розглянемо цілком впорядковані множини P з такими властивостями:

1. P ⊆ M;
2. ∀ x ∈ P    х = f (M \ {y ∈ P | y < x}).

З умови (іі) маємо: f (M) — найменший елемент. Щонайменше одна цілком впорядкована множина P, що задовольняє умови (i–ii), існує. Наприклад, P = { f (M)}. Для зручності подальшого викладу доведення запровадимо таке поняття: початковим відрізком цілком впорядкованої множини P назвемо таку її підмножину Q, що разом з кожним своїм елементом q містить усі ті елементи p множини P, які менші за q. Інакше кажучи,

Доведемо, що для довільних двох цілком впорядкованих множин P і Q, що задовольняють властивості (i–ii), одна є початковим відрізком іншої. Розглянемо усі можливі початкові відрізки P, що одночасно є початковими відрізками Q. Існує щонайменше один такий непорожній початковий відрізок {f (M)}. Розглянемо об'єднання U всіх таких спільних початкових відрізків. Припустимо, що P ≠ U і Q ≠ U. Тоді f (M \ U) є найменшим елементом множин P \ U і Q \ U. Множина U ⋃ { f (M \ U)} є початковим відрізком обох множин P і Q, яка більша від їхнього найбільшого спільного початкового відрізка U. Отримана суперечність свідчить про хибність припущення. Отже, P = U або Q = U. Для завершення доведення теореми Цермело розглянемо об'єднання A всіх множин P, що задовольняють умови (i–ii). Згідно з доведеним, воно є цілком впорядкованою множиною. Припустимо, що A ≠ M. Долучивши до A элемент f (M \ A) і вважаючи його більшим за всі елементи множини A, отримаємо суперечність з максимальністю A щодо включення. Отримана суперечність свідчить про хибність припущення A ≠ M. Отже, A = M, що й потрібно було довести.