18.1. Вписане коло (геометрія + цілі числа + перебір двома вкладеними циклами)

1. Позначимо через:
   a, b, c — сторони трикутника у порядку незростання;
   r — радіус вписаного кола;
   p = (a + b + c)/2 — півпериметр;
   A = 2(p – a),
   B = 2(p – b),
   C = 2(p – c) — натуральні величини, перераховані у порядку неспадання.

2. Маємо: A + B + C = 2p і p²r² = p(p – a)(p – b)(p – c).

3. Враховуючи монотонність функції y = x / (x + const), маємо:
   A² / 3 ≤ ABC / (A + B + C) = (2r)², звідси
   A ≤ 2r · 3^1/2.

4. Для сталого A маємо: AB² / (A + 2B) ≤ ABC / (A + B + C) = (2r)², звідси
   AB² – 8Br² – 4Ar² ≤ 0.

5. Для сталих A і B величину C визначають однозначно:
   C = 4r²(A + B) / (AB – 4r²).

6. Для відомих A, B і C довжини сторін трикутника визначають однозначно:
   a = (B + C) / 2;
   b = (C + A) / 2;
   c = (A + B) / 2.

18.2. Многогранник-3 (аналітична геометрія + графіка + рекурсія)

1. Визначаємо декартові координати вершин грані 1 на розгортці за умови, що вершини сторони з найменшими (нульовими) ординатами точок мають координати (0; 0) і (1; 0).

2. Починаючи з грані 1 і обходячи грань по периметру, рекурсивно визначаємо координати вершин грані розгортки, що має з розглядуваною спільне ребро.

3. За відомими координатами вершин граней на розгортці знаходимо [x_min; x_max] і [y_min; y_max] — діапазони зміни абсцис x і ординат y вершин граней на розгортці, забезпечивши справдження умови єдиного мірила по горизонталі й вертикалі:

   (x_max – x_min) / N_x = (y_max – y_min) / N_y. Тут і далі N_x і N_y — розміри екрана у пікселях відповідно по горизонталі й вертикалі.

4. Знаходимо екранні координати I_x і I_y вершин граней на розгортці згідно з такими формулами:

   I_x = [N_x(x – x_min) / (x_max – x_min)];
   
   I_y = [N_y(y_max – y) / (y_max – y_min)].

   В останніх двох формулах [x] — ціла частина x. Хоча можна і краще взати результат округлення до цілого числа.