Проблеми набуття компетентності щодо опанування теорією при вивченні аксіом геометрії та їхніх безпосередніх наслідків



Передмова

Публікацію присвячено все ще актуальній проблемі вивчення математики: відповідності шкільного курсу математики сучасним уявленням про математику. Вказано на причину гостроти й актуальності цієї проблеми, описано спосіб її подолання.

Публікацію адресовано вчителям математики і учням загально освітніх навчальних закладів, студентам математичних спеціальностей педагогічних університетів.

Мета публікації: допомогти при викладанні математики створювати сучасне уявлення про цей предмет і виробляти уважне ставлення до обґрунтованості викладання дисципліни поданням у завершеному вигляді матеріалу для систематизації та узагальнення знань.

1. Аксіоматика Гільберта

До запровадження аксіом обов'язково запроваджують поділ на фунда­ментальні й нефунда­ментальні поняття.

Фундаментальні (основні) поняття (наприклад, елемент, множина, точка, пряма, площина, простір) не означують, а їхні властивості описують за допомогою аксіом — висловлювань, що приймають без доведення.

Нефундаментальне поняття запроваджують за допомогою означення — висловлювання, що виражає одне математичне поняття через інші, які вже означено або запроваджено аксіомами (фундаментальні поняття).

Наразі в геометрії використовують систему аксіом, розподілену на п'ять груп. Цю класифікацію запропонував німецький математик Давид Гільберт (1862—1943) у 1899 році у праці «Основи геометрії». Навіть якщо на уроках учні вивчають аксіоматичний підхід за підручником, що не містить навіть згадки про цю людину, учнів потрібно ознайомити і з його ім'ям, і з його здобутками. Хоча б у статті стінної газети.

1.1. Аксіоми сполучення

  1. Дві різні точки визначають одну пряму. Інакше кажучи, через довільні дві різні точки проходить одна й лише одна пряма.

  2. Кожна пряма містить не менше двох різних точок. Існує щонайменше три точки, що не належать до однієї прямої.

  3. Через три точки, що не належать до однієї прямої, можна провести площину й лише одну (існує і єдина площина, що містить ці точки). Довільна площина містить щонайменше одну точку.

  4. Якщо дві різні точки однієї прямої належать до площини, то й усі точки цієї прямої належать до тієї самої площини.

  5. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають щонайменше ще одну (іншу) спільну точку.

  6. Існують щонайменше чотири точки, що не належать до однієї площини.

1.2. Аксіоми порядку

  1. Якщо точка В лежить на прямій між точками А і С, то А, В і С — різні точки прямої і В лежить між С і А.

  2. Для довільних двох різних точок А і B довільної прямої існує (щонайменше) одна точка С, при якій B розташована між A і С.

  3. З трьох точок однієї прямої не більше ніж одна лежить між двома іншими.

  4. Якщо у довільній площині дано три різні точки А, В, С і довільну пряму, що не проходить через жодну з цих точок і перетинає відрізок АВ, то ця пряма неодмінно перетне один з відрізків АС чи ВС.

Примітка (до аксіоми порядку 4). Кажуть:

Аксіому порядку 4 можна переформулювати таким чином:

якщо точки A і B розташовані по різні боки від прямої l і точка C розташована поза прямою l, то:

За допомогою цієї самої аксіоми можна довести (від супротивного) таке висловлювання:

якщо точки A і B розташовані по один бік від прямої l і точки A і C розташовані по один бік від прямої l, то й точки В і C розташовані по один бік від прямої l.

Таким чином, можна говорити про розбиття площини прямою на дві підмножини — множини точок площини, розташованих по один бік від прямої.

1.3. Аксіоми конгруентності

  1. На довільній прямій від довільної її точки можна відкласти відрізок, що дорівнює даному.

  2. Два відрізки, що дорівнюють третьому, рівні між собою.

  3. Нехай А, В, С — точки однієї прямої, К, L, М — також точки однієї прямої, причому АВ = KL, ВС = LМ. Якщо пара відрізків АВ і ВС, так само як і пара відрізків КL та LМ не має спільних внутрішніх точок, то АС = КМ.

  4. Від довільної точки довільної прямої у даний бік можна побудувати один і лише один кут, що дорівнює даному. Кожний кут дорівнює самому собі.

  5. Якщо у двох трикутниках AВС й КLМ справджуються рівності сторін: АВ = КL, АС = КМ і рівність кутів ВАС і LKM, то справджується рівність кутів АВС й КLМ.

1.4. Аксіома про паралельність прямих

Через дану точку в даній площині можна провести не більше ніж одну пряму, що паралельна даній прямій.

1.5. Аксіоми неперервності прямої

  1. Для довільних двох відрізків АВ і СD при справдженні нерівності: АВ > СD) на прямій АВ можна від точки А відкласти відрізок СD послідовно стільки разів, що буде отримано відрізок, який не менший від АВ (так звана аксіома Архімеда).

  2. Точки прямої лінії утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом (так звана аксіома лінійної повноти, що лежить в основі взаємно однозначної відповідності між множиною точок прямої і множиною дійсних чисел).

Після проголошення аксіом неперервності необхідно звернути увагу на проблему вимірювання довжин відрізків та їхньої співвимірності.

Спільна міра двох відрізків — відрізок, який міститься в кожному з даних відрізків цілу кількість разів (без лишку).

Якщо два відрізки мають спільну міру, їх називають співвимірними, інакше — неспіввимірними. Наприклад, сторона й діагональ квадрата — неспіввимірні.

При запровадженні поняття довжиини відрізка попередньо запроваджують одиницю довжини, за яку можна вибрати довільний відрізок.

Алгоритм вимірювання відрізку, неспіввимірного з одиницею довжини

Цей процес ніколи не закінчиться, бо відрізок неспіввимірний з одиницею довжини. Таким чином отримаємо нескінчений десятковий дріб a0,a1a2a3… . Дріб буде неперіодичним, бо інакше отримаємо суперечність з неспіввимірностю відрізка й одиниці довжини. Побудовиний нескінчений дріб називають довжиною даного відрізка, неспіввимірного з одиницей довжини. Наприклад, довжини діагоналі квадрата зі стороною, яку вибрано за одиницю довжини, виражають ірраціональним числом 21/2 = 1,41421356237309… .

2. Інші системи аксіом

У підручниках з геометрії можна зустріти інші системи аксіом. Інші лише на перший погляд. Насправді це неістотні модифікації аксіоматики Гільберта з метою полегшити сприйняття аксіом учнями.

Крім Гільберта створенням систем аксіом займалися й інші математики:

У поданому вище переліку вказано істотні відмінності від підходу Давида Гільберта. Наприклад, у системі Фрідріха Шура аксіоми конгруентності Гільберта замінено аксіомами руху, що описують властивості рухів — відображень точок, прямих і площин відповідно у точки, прямі і площини. Обидві групи аксіом обох систем виконують одне й те саме завдання, визначаючи різними способами одні й ті самі поняття. Аксіоми конгруентності Гільберта визначають відносини конгруентності безпосередньо, аксіоми руху — через наслідки.

1.3'. Аксіоми руху

  1. Кожний рух H зберігає відношення приналежності. Інакше кажучи, якщо точка А належить до прямої a (площини β), то її образ при русі Н (позначають НА) належить до образу прямої Ha (площини Нβ).

  2. Кожен рух зберігає відношення порядку на прямій. Інакше кажучи, для для кожного руху H для довільного напрямку на довільній прямій а можна поставити у відповідність такий напрямок на прямій Ha, що для довільних точок X і Y прямої a справджується таке висловлювання:

    X < Y ⇒ HX < HY,

    де символом «<» позначено відношення порядку на прямій. З цієї та попередньої аксіоми випливає, що рух відображає промінь у промінь, півплощину у півплощину.

  3. Множина рухів утворює (алгебричну) групу. Інакше кажучи:

    • послідовне застосування рухів є рухом — визначено закон композиції (множення елементів групи);

    • при послідовному застосуванні рухів результат не залежить від порядку визначення (не плутати з порядком елементів!):

      (H1H2)H3 = H1(H2H3)

      — асоціативна властивість композиції;

    • співставлення кожній точці (прямій, площині) її самої є рух. Цей рух називають тотожним — існує нейтральний елемент, який називають одиницею групи;

    • для кожного руху H існує рух, який позначають H –1, при якому послідовне застосу­вання рухів H і H –1 є тотожним рухом для кожного елемента групи — для кожного елемента групи існує лівий обернений елемент.

    Тут курсивом після кожної властивості її висловлено у термінах теорії груп. Якщо при вивченні теорії не заплановано ознайомлення з елементами теорії груп, то цих слів учням непотрібно й говорити. Інакше їх бажано сказати.

    Рух H –1 називають зворотним. Аксіома вимагає, щоб тотожним рухом було послідовне застосування рухів H і H –1 — саме у такому порядку. У курсі вищої алгебри доводять, що послідовне застосування рухів H –1 і H також є тотожним рухом — для кожного елемента групи існує правий обернений елемент.

  4. Якщо рух відображає промінь у цей самий промінь, залишаючи початок нерухомим, то цей рух залишає нерухомою кожну точку променя.

  5. Для кожної пари точок А і В існує рух Н, який переставляє їх місцями:

    НА = В, НВ = А.

  6. Для кожної пари променів l, p зі спільним початком існує рух Н, що їх переставляє:

    Нl = p, Hp = l.

  7. При довільних:
    • точці А прямої а на площині α;
    • точці B прямої b на площині β
    існує рух, який відображає:

    • точку А в точку В;

    • заданий промінь на прямій а з початком A у
      заданий промінь на прямій b з початком B;

    • задану півплощину на площині α, обмежену прямою а, у
      задану півплощину на площині β, обмежену прямою b.

3. Означення геометричних фігур

При демонстрації аксіоматичного підходу важливо використовувати лише означені поняття, незалежно від того, як їх запроваджують: індуктивно чи дедуктивно. На жаль, не всі дотримуються цього правила. Наприклад, говорячи про геометричні фігури, не означивши попередньо, що таке геометрична фігура.

Інколи довести деякі властивості фігур, виходячи з традиційних означень, важко. Але використавши еквівалентні, але інші означення, це зробити легко. Проілюструємо це на прикладі властивості опуклості.

Геометрична фігура — це множина точок з певними властивостями, а елемент геометричної фігури — це її підмножина.

Промінь з початком у точці A, розташований на прямій l — це множина всіх тих точок прямої, що розташовані по один бік від точки A на прямій l. Інакше кажучи, для довільних двох різних точок В і С цього променя або В розташована між А і С, або С розташована між А і В.

Продовження променя до прямої — це пряма, що містить промінь як підмножину.

Відрізок АВ — інколи позначають [АВ] — це множина всіх тих точок прямої АВ, які розташовані між точками А і В, та точок А і В. Точки А і В називають кінцями такого відрізка, а решту точок цього відрізка називають внутрішніми точками. Кажуть, що відрізок сполучає точки, що є його кінцями.

Опукла множина (точок) — це множина точок, для довільних двох з яких всі точки відрізка, що їх сполучає, належать до цієї множини.

Зауважимо: перетин довільної кількості опуклих множин є опуклою множиною.

Півплощина, обмежена прямою l на площині — це множина всіх точок площини, що лежать по один бік від прямої l. Інакше кажучи, для довільних двох різних точок півплощини, відрізок, що їх сполучає, не перетинає пряму l.

Зауважимо:

Розгорнутий плоский кут — це півплощина.

Плоский кут, менший від розгорнутого — це перетин двох різних півплощин однієї площини, обмежених різними прямими, що перетинаються в одній точці.

Плоский кут, більший від розгорнутого — це об'єднання двох різних півплощин однієї площини, обмежених різними прямими, що перетинаються в одній точці.

Якщо два різні промені OA і OB на площині належать до однієї прямої, як підмножини, то вони задають два розгорнутих плоских кути — дві півплощини.

Якщо два різні промені OA і OB на площині не належать до однієї прямої, як підмножини, то вони задають два плоских кути:

Про обидва ці кути кажуть, що вони мають вершину O і сторони OA і OB.

Один з цих кутів, більший від розгорнутого, містить як строгі підмножини півплощини, обмежені прямими, що містять O.

Інший кут, менший від розгорнутого, є строгою підмножиною півплощин, обмежених прямими, що містять O. Маємо: якщо початки двох різних променів збігаються і належать до деякої прямої, а решта точок цих променів лежать по один бік від цієї прямої, той усі точки кута, меншого від розгорнутого й обмеженого цими променями, лежать по той самий бік від цієї прямої, що й промені. Зверніть увагу на це висловлювання: його буде використано у подальшому для доведенні теореми 2 з переліку «очевидних» висловлювань (див. далі).

Трикутник АBC (за умови, що точки А, B, C не належать до однієї прямої) — це перетин трьох таких півплощин:

Точки А, B, C називають вершинами трикутника АBC, а відрізки AB, AC, BC — його сторонами.

4. Елементи теорії

Для повного розуміння теорії має бути розуміння її структури з умінням описувати, розпізнавати й застосовувати до всього навчального матеріалу подані у цьому розділі поняття.

Теорема — висловлювання щодо понять певної математичної теоріїї (наприклад, геометрії). Зазвичай має такий вигляд: якщо (справджується) умова, то (справджується) висновок.

Проста теорема — теорема, що містить лише одну умову й один висновок. Інакше теорему називають складною.

Лема — допоміжна теорема.

Обернена теорема — це теорема, в якій умовою є висновок, а висновок — умовою даної теореми.

Наприклад:

Якщо пряма й обернена теореми справджуються, то їх формулюють як одну теорему, використовуючи поняття необхідності й достатності.

Необхідна умова — це довільна умова, без справдження якої дане висловлювання хибне.

Достатна умова — це довільна умова, зі справдження якої випливає істинність даного висловлювання.

У формулюваннях теорем словосполучення «необхідно й достатньо» замінюють на таке: «тоді й лише тоді», «ті й лише ті», «у тому й лише утому випадку, коли» та інші.

Протилежна теорема — це теорема, умова й висновок якої є відповідно запереченнями умови й висновку даної теореми. Наприклад:

5. «Очевидні» висловлювання

Наразі розрізняють 5 рівнів опанування (математичною) теорією. Це рівні спроможності:

Важливо показати учням досяжність усіх цих рівнів навіть на матеріалі шкільного курсу математики. Чинні навчальні програми передбачають:

На курсах підвищення кваліфікації вчителів математики почув такі слова: «ЗНО похоронило доведення у загальноосвітній школі». Мова не про хибність самої ідеї ЗНО, а про частку кількості балів, призначених за доведення. Про те, що можна, не уміючи доводити, успішно виконати завдання ЗНО. Хай не найкращим чином, але достатньо для вступу до вишу для навчання за державним замовленням. Інакше кажучи, кінцевий результат вивчення математики у школі з точки зору більшості майбутніх абітурієнтів істотно відрізняється від сучасних уявлень про математику.

Не тільки й не стільки математики формулювали і розв'язували задачі. Але саме вони доводили правильність розв'язання. Інакше кажучи, вивчення математики у школі настільки відповідає сучасним уявленням про неї, наскільки у цьому вивченні зроблено наголос на доведенні. На початку вивчення геометрії учням намагаються дати уявлення про аксіоматичний підхід. Багато учителів (можливо, й учнів та їхніх батьків) мають сподівання досягнути цієї мети щонайменше при поглибленому вивченні математики. Далі на конкретному прикладі буде показано марність цих сподівань.

У 1999 році, виступаючи на секції математики Всеукраїнської конференції «Актуальні проблеми вивчення природничо-математичних дисциплін у загальноосвітніх навчальних закладах України», автор звернув увагу на те, що учнів примушують використовувати не лише не доведені, а навіть не сформульовані твердження. Наступний доповідач Є.П.Нелін, автор багатьох підручників і посібників, повторив висловлювання про використання не сформульованих тверджень. Ніхто не заперечував ні першого, ні другого разу.

Автор мав на увазі, у першу чергу, властивості подільності натуральних чисел, які доводять на основі такого співвідношення:

НСД(a, b) = min{ax + by ∈ ℕ | x, y ∈ ℤ}.

Насправді, весь курс алгебри й початків аналізу у школі не є логічно послідовним. Хоча логічну послідовність у викладанні цього курсу можна досягнути. Про це говорить досвід УФМЛ КНУ імені Тараса Шевченка (ще до конференції 1999 року). Успішність було гарантовано наявністю посібника [1], що ліг в основу повного викладу теорії [2].

Але й з геометрією було (і є) не все гаразд — див., наприклад, задачу № 47 на ст.23 підручника [3], що полягає у доведенні такого висловлювання: відрізки, що сполучають внутрішні точки двох різних сторін трикутника з протилежними вершинами, перетинаються. У підручнику [3] її подано як задачу для учнів 7 класу. Автор запропонував у 1997 році довести цю теорему учням 8 класу на ІІ (районному) етапі Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у місті Києві. І отримав такий відгук: члени журі з Печерського району, учні якого напотужніше виступають на столичних олімпіадах, зауважили, що не варто давати учням такі складні задачі, які ніхто не може розв'язати. Решта районів промовчали... Інакше кажучи, і учні, і вчителі дружно обходили й не розв'язували при запровадженні аксіом проблему: «рисунок не є доведенням, а лише ілюстрацією». Через пару років уже з іншого приводу від старого вчителя-угорця із Закарпаття автор почув слова, які найвлучніше описують це явище: вчительський популізм.

Хоча проблему було помічено й озвучено на Всеукраїнському рівні щонайменше у 1999 році, немає підстав вважати, що зараз ситуація покращилася. Ті, хто сумнівається, можуть провести нескладне випробування: без попередньої підготовки, тобто без розгляду поданих нижче теорем, запропонувати учням вивести це висловлювання з аксіом. І переконатися у повній безпорадності більшості учнів. Навіть у класах з поглибленим чи профільним вивченням математики. Навіть серед випускників.

Зауважимо: відкласти на майбутнє (на час профільного навчання у старшій школі чи у виші) розв'язання проблеми (комбінаторне мислення, правильне сприйняття аксіоматичного підходу, вміння логічно послідовно, стисло й несуперечливо висловлювати свої думки) несе небезпеку проґавити той час, коли цю проблему ще можна розв'язати.

Далі у вигляді теорем 1–11 перелічено деякі «очевидні» висловлювання, які насправді вимагають доведення. Деякі з цих висловлювань доводять у посібниках і підручниках, їх доведення нескладне для пересічного учня. Тому їх тут подано без доведення. А от згадане висловлювання (теорема 4) й попередні до нього — ні. Тому замість доречної ілюстрації «глобальної індукції» (аксіоматичного підходу) отримуємо «ситуативну дедукцію»: учні бачать потребу доведення лише там, де вказав учитель. А про уміння доводити — розмова окрема. Учителі разом з учнями «будують замки на піску»: доводячи теорему про перетин трьох медіан, висот чи бісектрис трикутника в одній точці, навіть не усвідомлюючи, що вони не можуть довести висловлювання про перетин двох медіан, висот чи бісектрис.

На думку автора при для демонстрації можливості аксіоматичного підходу для перших наслідків аксіом рисунки для поданих доведень недоречні. Бо кінцевим результатом є уміння розуміти і висловлювати доведення при демонстрації аксіоматичного підходу, уміння помітити необхідність доведення допоміжних висловлювань. Не вирішивши цю проблему при запровадженні поняття аксіоми, учитель не має морального права вимагати від учнів уміння помічати потребу щось доводити, а не ілюструвати. А якщо й буде вимагати, то у найкращому випадку досягне «ситуативної дедукції».

Теорема 1. Якщо початок променя належить до прямої, то решта його точок або належать до прямої, або лежать по один бік від неї.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що існують:

Відрізок AB перетинає пряму l у деякій точці. Ця точка є єдиною точкою перетину продовження p і прямої l. Вона збігається з точкою С. Маємо: С розташована між A i B, що суперечить означенню початку променя. Отримана суперечність свідчить про хибність припущення.

Теорема 2. Об'єднання кута, меншого від розгорнутого, з його сторонами є опукла множина — наслідок запроваджених означень й попередньої теореми 1. Таке об'єднання називають замиканням кута — частковий випадок об'єднання точок фігури з її межею.

Теорема 3. Нехай промінь з початком у вершині кута, меншого від розгорнутого, лежить всередині кута (тобто всі точки променя, відмінні від його початку, належить до кута). Тоді цей промінь перетинає відрізок, що з'єднує довільні дві точки на різних сторонах кута.

Доведення. Продовжимо промінь до прямої, яку позначимо l. Доведемо від супротивного, що сторони кута (без початку) лежать по різні боки від прямої l. Припустимо, що сторони кута (без початку) лежать по один бік від прямої l. Тоді й усі точки кута мають лежати по той самий бік від прямої l, у тому числі й точки променя. Отримана суперечність свідчить при хибність припущення. Отже, промені лежать по різні боки від прямої l. Візьмемо довільні точки A, B на різних сторонах кута, відмінні від його вершини. Вони розташовані по різні боки від прямої l, тобто відрізок A, B перетинає пряму l у деякій точці С.

Доведемо, що ця точка перетину належить до променя. Пряма l складається з трьох частин:

Вершина кута відмінна від С, бо не лежить на одній прямій з точками A, B (кут не є розгорнутим). Внаслідок справдження попередньої теореми 2 маємо:

Теорема 4. Відрізки, що сполучають внутрішні точки двох різних сторін трикутника з протилежними вершинами, перетинаються.

Доведення. Нехай у довільному трикутнику ABC:
D — внутрішня точка сторони AB;
F — внутрішня точка сторони AC.

Згідно з попередньою теоремою 3:

Згідно з аксіомою сполучення 1 дві різні прямі (AF) і (CD) перетинаються лише в одній точці, яка і є точкою перетину відрізків [AF] і [CD]. Цю точку на рисунку вище позначено літерою G.

Теорема 5. Дотична до кола має лише одну спільну точку з колом.
Теорема 6. Пряма, яка має єдину спільну точку з колом, є дотичною до цього кола.
Теорема 7. Пряма має не більше двох спільних точок з колом.
Теорема 8. Два різних кола мають не більше двох спільних точок.
Теорема 9. Паралелограм опуклий.
Теорема 10. Косинус монотонно спадає при зростанні кута від 0 до 90°.
Теорема 11. Довільна замкнена ламана l на площині без самоперетинів розбиває цю площину на дві частини. Інакше кажучи, площина є об'єднанням множини точок цієї ламаної і двох множин без спільних точок:

Останнє висловлювання має істотно найдовше доведення. Воно єдине з поданого переліку, яке, не варто виносити на письмове чи усне опитування з обмеженням за часом 15 хвилин на одне питання. Можливо, вчителю варто лише описати схему доведення. З рештою питань учні впораються за 10–15 хвилин письмового опитування.

Кілька слів про тих, учнів, увагу яких не звернули на ці «очевидні» висловлювання. То не біда, що учні не знають доведення цих тверджень чи навіть самі формулювання. Мільйони дорослих людей також не знають цього. І їм від того не погано. Біда в іншому. Був чудовий привід розвинути критичне мислення до найвищого рівня у час, найсприятливіший для цього. І привід не згадано, і час згаяно.

Висновки. Шкільний курс математики, у тому числі й геометрії, не є логічно послідовним. Навіть при ознайомленні з аксіоматичним підходом при вивченні перших наслідків з аксіом. Це призводить до викривленого сприйняття математики, виховання неуважного ставлення до обґрунтованості висловлювань і неможливості досягнути достатньо критичного ставлення до отриманих повідомлень. Розв'язання проблеми відоме і потребує незначного навчального часу на корегування наявних підходів.

Література

  1. Вибрані питання елементарної математики/ За ред. чл.-кор. АН УРСР А.В.Скорохода. — К.: Вища школа, 1982. — 455 с.

  2. Рудик О.Б. Початки алгебри, аналізу, аналі­тич­­ної геометрії і теорії ймовір­нос­тей. — Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2005, 416 с.

  3. Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія. Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — 7 видання. — К.: Школяр, 2004. — 240 с.